垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线形状，它距离地面的高度y（单位：）与到树干的水平距离x（单位：）之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．

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1. 垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线形状，它距离地面的高度y（单位： $\text{[math]}$ ）与到树干的水平距离x（单位： $\text{[math]}$ ）之间满足关系式 $\text{[math]}$ ．已知这枝垂柳的始端到地面的距离 $\text{[math]}$ ，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的函数解析式；

(2) 小明头顶距离地面 $\text{[math]}$ ，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-抛球问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高为2.44m．

(1) 在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）

(2) 守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？

综合题普通

2. 乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．甲乙两人训练打乒乓球，让乒乓球沿若球台的中轴线运动，图为从侧面看乒乓球台的视图， $\text{[math]}$ 为球台， $\text{[math]}$ 为球网，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，甲从 $\text{[math]}$ 正上方的 $\text{[math]}$ 处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的 $\text{[math]}$ 处再弹起到另一侧的 $\text{[math]}$ 处，从 $\text{[math]}$ 处再次弹起到 $\text{[math]}$ ，乙再接球．以 $\text{[math]}$ 所在直线为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 为原点建立平面直角坐标系， $\text{[math]}$ 表示球与 $\text{[math]}$ 的水平距离， $\text{[math]}$ 表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线且形状不变， $\text{[math]}$ 段抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 段抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当球在球网左侧距球网 $\text{[math]}$ 时到达最高点，求：

① $\text{[math]}$ 的解析式；

②球过球网时球与 $\text{[math]}$ 的距离；

(2) 若球第二次的落点 $\text{[math]}$ 在球网右侧 $\text{[math]}$ 处，球再次弹起最高为 $\text{[math]}$ ，乙的球拍（看作线段 $\text{[math]}$ ）在 $\text{[math]}$ 的正上方 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ ，若将球拍向前水平推出 $\text{[math]}$ 可接住球，求出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题普通

3. 莲莲和宸宸在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 $\text{[math]}$ ．莲莲在点 $\text{[math]}$ 处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线 $\text{[math]}$ 的一部分，宸宸恰在点 $\text{[math]}$ 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 $\text{[math]}$ 的一部分．

(1) 抛物线 $\text{[math]}$ 的最高点坐标为______．

(2) 求出a，c的值．

(3) 若莲莲在x轴上方 $\text{[math]}$ 的高度上，且到点A水平距离不超过 $\text{[math]}$ 的范围内可以接到沙包，求出符合条件的n的整数值．

∵当莲莲在x轴上方 $\text{[math]}$ 的高度上，且到点A水平距离不超过 $\text{[math]}$ 的范围内可以接到沙包，

∴此时点A的坐标范围是 $\text{[math]}$ ．

当 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 时，由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，

当 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 时，由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，

∴n的取值范围是______．

∵n是整数，

∴符合条件的n的整数值为______．

综合题普通