在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点．

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1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图（1），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的点，连结 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，

①如图（2），若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

②如图（3），连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 矩形的性质; 三角形的中位线定理; 四边形的综合; A字型相似模型; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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综合题困难

1. 数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．

(1) 推理证明：

在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的符合题意性．九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1，在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的中线，则 $\text{[math]}$ ，请你用矩形的性质证明这个结论的符合题意性．

(2) 迁移运用：利用上述结论解决下列问题：

①如图2，在线段 $\text{[math]}$ 异侧以 $\text{[math]}$ 为斜边分别构造两个直角三角形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系并说明理由；

②如图3， $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点O，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是矩形；

综合题困难

2. 如图：

(1) 将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．

①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；

②求四边形AGCH的面积．

(2) 如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 $\text{[math]}$ ， BC＝7，CF＝ $\text{[math]}$ ，求四边形AGCH的面积．

综合题普通

3. 如图，四边形ABCD是矩形，点G为对角线AC的中点，E为AD边上一点，过点A作AF⊥CE交CE延长线于点F，且EF＝ED，连接BF、FG、EG．

(1) 求证：AC垂直平分BF；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通