问题探究：如图1，在正方形ABCD ，点E ， Q分别在边BC ， AB上，于点，点G ， F分别在边CD、AB上，．

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1. 问题探究：如图1，在正方形ABCD ，点E ， Q分别在边BC ， AB上， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点G ， F分别在边CD、AB上， $\text{[math]}$ ．

(1) ①判断DQ与AE的数量关系：DQAE；

②推断： $\text{[math]}$ （填数值）；

(2) 类比探究：如图2，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点 $\text{[math]}$ 处，得到四边形FEPG ， EP交CD于点 $\text{[math]}$ ，连接AE交GF于点 $\text{[math]}$ ．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；

(3) 拓展应用1：如图3，四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M ， N分别在边BC、AB上，求 $\text{[math]}$ 的值．

(4) 拓展应用2：如图2，在（2）的条件下，连接CP ，若 $\text{[math]}$ ，求CP的长．

【考点】

三角形全等及其性质; 勾股定理; 平行四边形的判定与性质; 正方形的性质; 相似三角形的性质-对应边;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，正方形 $\text{[math]}$ 中，边长 $\text{[math]}$ ， E为对角线 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 对折，得到 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

①求 $\text{[math]}$ 的面积；

②求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 若在线段 $\text{[math]}$ 上另有一点F如图2，把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折，正好得到 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用含x的代数式表示y；

(3) 若点F在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 对折，得到 $\text{[math]}$ ，且在对角线 $\text{[math]}$ 上有一点E，使得 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠后正好得到 $\text{[math]}$ ．请画出此时的图形（任选一种即可），并简要叙述画图步骤．若仍设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，用含x的代数式表示y．

解答题普通

2. 如图①，将边长为2的正方形OABC如图①放置，O为原点．

（Ⅰ）若将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°时，如图②，求点A的坐标；

（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°时，求点B的坐标．

解答题普通

3. 一块直角三角形木板的直角边 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ 地 $\text{[math]}$ ．要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求． (加工损耗忽略不计)

解答题普通