如图1，在等腰中，，，点M、N分别是、的中点，连接．将绕点B逆时针旋转，射线、相交于点Q．

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1. 如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M、N分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点Q．

(1) 如图2，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由，若不变，请求出 $\text{[math]}$ 度数；

(2) 当点N在直线 $\text{[math]}$ 上方时，

①如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

②连接 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 的长度最小时，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为锐角，且 $\text{[math]}$ ．动点P从点A出发，沿边 $\text{[math]}$ 向点C运动，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点P逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ．

(1) 点B到 $\text{[math]}$ 的距离为；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(4) 若点P的运动速度为每秒1个单位长，直接写出点Q在 $\text{[math]}$ 区域（含边界）内的时长．

解答题困难

2. （1）【发现】如图1，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4，点 E为 $\text{[math]}$ 中点．连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点 A 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 G．爱思考的小明做了这样的辅助线，过点E作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 H……请沿着小明的思路思考下去，则 $\text{[math]}$

（2）【应用】如图2，菱形 $\text{[math]}$ 的边长为3，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

（3）【拓展】如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．点E为 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点C， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．