在平面直角坐标系中，O为原点，点，，，，连接，，点M，N分别是和的中点，连接．把绕点O逆时针旋转，得．点C，D，M旋转后的对应点分别为点，，，连接，旋转角记为．

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1. 在平面直角坐标系中，O为原点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M，N分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．把 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转，得 $\text{[math]}$ ．点C，D，M旋转后的对应点分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，旋转角记为 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为________， $\text{[math]}$ 的长为________；

(2) 如图②，若 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 在 $\text{[math]}$ 绕点O旋转一周的过程中，求出 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值．（直接写出结果即可）

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 旋转的性质; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转α（ $\text{[math]}$ ），连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的长，并写出旋转过程中线段 $\text{[math]}$ 的长的取值范围；

(2) 如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 当 $\text{[math]}$ 面积最大时，请直接写出旋转角α的度数．

解答题普通

2. 已知 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在射线 $\text{[math]}$ 上（不与B，C重合），过点D作 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 长（用含m的代数式表示）．

(2) 如图2，点D在 $\text{[math]}$ 延长线上，用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

解答题普通

3. 如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O^' ，与AB交于点P，求AP的长．

解答题普通