如图1，已知ABCD内接于⊙O，连结BD，BD平分∠ABC，点P是的中点，连结AP分别交BD，BC于点E，F.

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1. 如图1，已知ABCD内接于⊙O，连结BD，BD平分∠ABC，点P是 $\text{[math]}$ 的中点，连结AP分别交BD，BC于点E，F.

(1) 如图2，若AB为⊙O的直径，求∠AEB的度数.

(2) 求证：①DC=DE；②PE²-PF²=PF·AF.

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 圆周角定理; 相似三角形的判定-AA;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，E是边BC上一点，以AE为直径的 $\text{[math]}$ 经过点C，并交AB于点D，连结ED．

(1) 判断 $\text{[math]}$ 的形状并证明．

(2) 连结CO并延长交AB于点F，若 $\text{[math]}$ ，求AF的长．

综合题普通

2. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1) 小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

(2) 小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

综合题困难

3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°

(1) 在BC上作出点D ，使它到A ， B两点的距离相等（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）

(2) 若BD＝6，求CD长．

综合题普通