中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：）

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1. 中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西 $\text{[math]}$ ，点D在点C北偏西 $\text{[math]}$ 方向100海里处．（参考数据： $\text{[math]}$ ）

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长．

(2) 由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 哪一条最短？

【考点】

勾股定理; 解直角三角形的实际应用﹣方向角问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，公路MN为东西走向，在点M北偏东36.5°方向上，距离5千米处是学校A；在点M北偏东45°方向上距离 $\text{[math]}$ 千米处是学校B．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）．

(1) 求学校A ， B两点之间的距离

(2) 要在公路MN旁修建一个体育馆C ，使得A ， B两所学校到体育馆C的距离之和最短，求这个最短距离．

综合题普通

2. 深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力.某次，据气象观察，距深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过六级，则称受台风影响.

（sin43°≈ $\text{[math]}$ ，cos42°≈ $\text{[math]}$ ，tan42°≈ $\text{[math]}$ ）

(1) 此次台风会不会影响深圳？为什么？

(2) 若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？

(3) 若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）

综合题普通

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，Q为AB的中点．动点P从点A出发沿折线AC--CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ且边MN与点B始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t秒(>0)．

(1) 线段AB的长为

(2) 当点P在边AC上运动时，线段CP的长为 ▲ (用含t的代数式表示) ．

①当正方形PMNQ与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围．

②当边MN的中点落在△ABC的边上时，求正方形PMNQ的面积．

(3) 当点P不与点C重合时，作点C关于直线PQ的对称点C'当PC'⊥AB时，直接写出t的值．

综合题普通