法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”．

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1. 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程 $\text{[math]}$ 根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．

定义：如果关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数 $\text{[math]}$ 的图象与函数 $\text{[math]}$ 的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 互为“倍根函数”．

(1) 若 $\text{[math]}$ 是“倍根方程”，求k的值；

(2) 一次函数 $\text{[math]}$ 与反比例函数 $\text{[math]}$ 互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系；

(3) 已知 $\text{[math]}$ 是“倍根方程”，点 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象上一点，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值和最小值的差是3，求a的值．

【考点】

公式法解一元二次方程; 因式分解法解一元二次方程; 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）; 反比例函数与一次函数的交点问题; 二次函数的最值;

【答案】

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实践探究题困难

1. 小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）²的过程如下框：

小敏：

两边同除以（x﹣3），得

3＝x﹣3，

则x＝6．

小霞：

移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）²＝0，

提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．

则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，

解得x₁＝3，x₂＝0．

你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法．

实践探究题普通

2. 如图，在并联电路中，电源电压为U_总＝6V，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：I_总＝I₁+I₂（I₁＝ $\text{[math]}$ ， I₂＝ $\text{[math]}$ ）．已知R₁为定值电阻，当R变时，路电流I_总也会发生变化，且干路电流I_总与R之间满足如下关系：I_总＝1+ $\text{[math]}$ ．

(1) 【问题理解】

定值电阻R₁的阻值为 Ω．

(2) 【数学活动】

根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I₂＝ $\text{[math]}$ 来探究函数I_总＝1+ $\text{[math]}$ 的图象与性质．

①列表：下表列出I_总与R的几组对应值，请写出m的值：m＝ ▲ ．

R	…	3	4	5	6	…
I₂＝ $\text{[math]}$	…	2	1.5	1.2	1	…
I_总＝1+ $\text{[math]}$	…	3	m	2.2	2	…

②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I_总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．

(3) 【数学思考】

观察图象发现：函数I_总＝1+ $\text{[math]}$ 的图象是由I₂＝ $\text{[math]}$ 的图象向平移个单位而得到．

(4) 【数学应用】

若关于x的方程|1+ $\text{[math]}$ |=kx+6在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．

实践探究题困难