在中，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，直线与直线交于点．

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 至线段 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最小时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 旋转的性质; 三角形全等的判定-SAS; 解直角三角形—边角关系; 相似三角形的判定-AA;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.

(1) 如图1，当点P在线段BC上时，试猜想写出线段CP与BQ的数量关系，并证明你的猜想；

(2) 如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）.

综合题普通

2. 已知∠AOB＝120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP ，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合．

(1) 依据题意补全图1；

(2) 用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明；

(3) 连接OC ，写出一个OC的值，使得对于任意点P ，总有OP+OQ＝4，并证明．

综合题普通

3. 如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE.

(1) 求证：△CDE是等边三角形；

(2) 如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；

(3) 如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.

综合题普通