1.
希腊数学家帕普斯借助反比例函数
的图象成功将锐角三等分，作法如下.
1. 如图 1，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边 OB与 x 轴正方向重合；
2. 绘制函数的图象，图象与已知角的另一边 OA交于点 P；
3. 以P为圆心，以 2OP 为半径作弧，交函数的图象于点 R；
4. 分别过点 P和 R 作 x 轴和 y 轴的平行线，两线交于点 M；
5. 连接 OM，得到 ， 这时
.
(1)
【探究】小明在探究该方法时发现，先以 P，R，M 为顶点做矩形，再证明矩形的另一顶点 Q 与 O，M 共线后，即可推导出
. 请你根据以上思路帮助小明完成证明过程.
(2)
【拓展】小明进一步发现
也可以将任意锐角三等分，请证明.
(3)
【应用】如图2. 在平面直角坐标系中，
的顶点与原点重合，角的一边OB与
轴正方向重合，另一边与函数
（
）交于点A，以A为圆心，2OA为半径作弧，交函数图象于点C，点P为线段AC中点，连接OP，其中
， 
， 那么
.
证明：如图 1，分别过点 P 和 R 作 y 轴和 x 轴的平行线，两线交于点 Q，
，
，
，
四边形PQRM为矩形.
设点 P( ，
，
)，则 M (
，
（），
于是直线 OM 的解析式为，
，
点 Q 在直线 OM 上；
连接 PR 交 OM 于点 N，则 N 为 PR 和 QM 的中点，
，
，
又 ，
，
，
.
【考点】
矩形的性质;
解直角三角形;
正比例函数的概念;
等腰三角形的性质-等边对等角;