在中，，．

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， F是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 中点，F是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 圆内接四边形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 【定义新知】

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，点D、E分别在直角边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的“勾股线”．

【初步探究】

（1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中，若点D，E分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ 的“勾股线”；（填“是”或“不是”）

（2）如图2，已知 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点D、E分别在直角边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“勾股线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【问题解决】

（3）碳纤维板是将同一方向排列的碳素纤维使用树脂浸润硬化形成碳纤维板材，在多个领域都有应用，常用的有宇航、体育器材、工业、消防等．如图3，四边形 $\text{[math]}$ 是某机械厂的一块碳纤维板， $\text{[math]}$ ，点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“勾股线”， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 足够长．工人王师傅想要以 $\text{[math]}$ 为直角边、点F为直角顶点在这块碳纤维板中裁出一块直角三角形的部件 $\text{[math]}$ （点N在 $\text{[math]}$ 上）．

王师傅作法如下：在 $\text{[math]}$ 上确定一点M，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 即为所裁部件．判断王师傅裁出的 $\text{[math]}$ 部件是否符合要求（即 $\text{[math]}$ 是否是以点F为直角顶点的直角三角形），若符合要求，请你求出 $\text{[math]}$ 的值；若不符合要求，请说明理由，

解答题普通

3. 如图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合），点 $\text{[math]}$ 是夹子转轴位置， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 $\text{[math]}$ 转动．

（1）当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的距离最大值时，以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形的周长是 $\text{[math]}$ ．

（2）当夹子的开口最大（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合）时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的距离为 $\text{[math]}$ ．

解答题普通