如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E．

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1. 如图在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点E．

(1) 求抛物线的表达式．

(2) ①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使 $\text{[math]}$ 面积等于 $\text{[math]}$ 的面积？若存在，请求出点F的坐标．

②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，请直接写出点Q的坐标．

(3) 点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理; 三角形全等的判定-SAS; 二次函数-面积问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的解析式和顶点坐标；

(2) 直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点，连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 上的点F关于直线l的对称点 $\text{[math]}$ 恰好在线段 $\text{[math]}$ 上，求点F的坐标；

(3) 若有动点P在线段 $\text{[math]}$ 上，过点P作x轴的垂线分别与 $\text{[math]}$ 交于点M，与抛物线交于点N，试问：抛物线上是否存在点Q，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等，且线段 $\text{[math]}$ 的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

解答题普通

2. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于x轴上的点B，y轴上的点C，且其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．该抛物线与x轴的另一交点为点A，顶点为M．

(1) 求抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2) 如图2，长度为 $\text{[math]}$ 的线段DF在线段BC上滑动（点D在点F的左侧），过D，F分别作y轴的平行线，交抛物线于E，P两点，连接PE．求四边形PFDE面积的最大值及此时点P坐标；

(3) 在（2）问条件下，当四边形PFDE面积有最大值时，记四边形PFDE为四边形 $\text{[math]}$ ．将四边形 $\text{[math]}$ 沿直线BC平移，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于直线BC的对称点分别是点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．在平移过程中，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中有一点落到抛物线上时，请直接写出点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

3. 二次函数 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.

(1) 求二次函数的解析式；

(2) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线交二次函数于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值以及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难