综合与实践在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动。其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片。

1. 综合与实践

在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动。其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片。

(1) 【操作判断】将四边形纸片ABCD与等腰直角三角尺DEF按如图1放置，三角尺DEF的边DE，DF分别与四边形ABCD的边AB，BC交于P，Q两点，经测量得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .小明将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，此时点C与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，通过推理小明得出了 $\text{[math]}$ .

根据以上信息，请填空：

① $\text{[math]}$ °；

②线段AP，PQ，QC之间的数量关系为；

(2) 【迁移探究】小明将四边形纸片ABCD换成了图2中的形状，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在AB，BC上，且 $\text{[math]}$ ，线段AP，PQ，QC之间的数量关系是否仍成立?若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；

(3) 【拓展应用】如图3，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .小明以点 $\text{[math]}$ 为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺EDF，其中射线DE，DF分别交射线AC于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 恰好为线段AC的三等分点时，请直接写出MN的长.

【考点】

三角形全等的判定; 勾股定理的应用; 三角形的综合; 旋转全等模型;

【答案】

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实践探究题困难

1. 如图

(1) 阅读理解：如图①所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，且AE=EC，AD与CE交于点F.图中与△ABD全等的三角形是，与△AEF全等的三角形是.

(2) 问题探究：如图②所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，垂足为E.探究线段BC，AB，AD之间的关系，并证明.

(3) 问题解决：如图③所示，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CE平分∠ACB，BD⊥CE交CE的延长线于点D.求证：CE=2BD.

实践探究题困难

2. 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．

课题	测量学校旗杆的高度
成员	组长： $\text{[math]}$ 组员： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
工具	皮尺等
测量示意图		说明：线段AB表示学校旗杆， $\text{[math]}$ 垂直地面于点B，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出 $\text{[math]}$ 的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出 $\text{[math]}$ 的距离．
测量数据	测量项目	数值
	图1中 $\text{[math]}$ 的长度	1米
	图2中 $\text{[math]}$ 的长度	$\text{[math]}$ 米
…	…