如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接，

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1. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 在第一象限内相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴相较于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值及抛物线的解析式．

(2) 点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 长度的最大值．

(3) 在 $\text{[math]}$ 的条件下，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为斜边按图 $\text{[math]}$ 所示构造等腰直角 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 公共部分的面积为 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理; 二次函数-面积问题; 二次函数-相似三角形的存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，在直角坐标平面 $\text{[math]}$ 中，对称轴为直线 $\text{[math]}$ 的抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 联结 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(3) 过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上一点，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题普通

2. 如图所示，抛物线y＝ax²+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B（﹣1，0），点A（3，0）．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点P是抛物线上位于直线AC下方的一点，且BE∥AC交抛物线于点E，连接PB交AC于点F，连接EF、PE，求△PEF面积的最大值并求出此时点P的坐标；

(3) 在（2）的条件下，将抛物线向右平移至经过点P，得到抛物线y'，若N为抛物线y'对称轴上的一点，且以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点N的坐标．

解答题困难

3. 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线 $\text{[math]}$ 且经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．

(1) ①直接写出点A的坐标；②求抛物线解析式．

(2) 如图2，若点P为直线 $\text{[math]}$ 下方的抛物线上的一点，连接 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

(3) 抛物线上是否存在点M，过点M作 $\text{[math]}$ 垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难