二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．

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1. 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线上的两点．

(1) 求二次函数的表达式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 两点关于抛物线对称轴对称， $\text{[math]}$ 是以点 $\text{[math]}$ 为直角顶点的直角三角形时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 设 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，试探究： $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数的最值; 待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理; 二次函数-面积问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在该二次函数图象上

(1) 求该二次函数的解析式及其顶点坐标；

(2) 若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为10，最小值为1，请结合图象直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的上方，且 $\text{[math]}$ 面积为S，求S关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并说明 $\text{[math]}$ 取何值时，S有最大值，最大值是多少？

解答题困难

2. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 的周长最小时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标及周长最小值；

(3) 如图2，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 面积最大时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难

3. 如图，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 轴于另一点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上有一点 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最大值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标．

解答题困难