如图，抛物线与轴交于A，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为．

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1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，抛物线对称轴为直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为第一象限内抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 当线段 $\text{[math]}$ 的长度最大时，求 $\text{[math]}$ 的值：

(3) 点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上的一点，点 $\text{[math]}$ 是坐标平面内的一点，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 菱形的性质; 竞赛类试题; 二次函数-特殊四边形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点 $\text{[math]}$ ，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 最小时，求此时点E的坐标；

(3) 若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 是与 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的抛物线，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式及顶点坐标；

(3) 在（2）的条件下，设在 $\text{[math]}$ 的对称轴左侧有直线 $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ，另有一条直线 $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别交于点 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是正方形时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标及正方形 $\text{[math]}$ 的边长．

解答题困难

3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求该抛物线的解析式，

(2) 若点 $\text{[math]}$ 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难