如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点．

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1. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点．

(1) 求抛物线的解析式和点 $\text{[math]}$ 坐标；

(2) 若点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴 $\text{[math]}$ 上的一动点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 勾股定理; 一次函数的实际应用-几何问题; 二次函数-特殊三角形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 项目式学习

项目主题：人工智能视觉识别

项目背景：视觉识别技术是人工智能领域的一个重要分支，它让计算机能够“看懂”图象，目标矩形（BoundingBox）是视觉识别技术的一个重要概念，它在计算机视觉的多个领域中都有应用，如目标检测、图象分割、物体跟踪等．目标矩形是一种用于表示图象中目标物体位置和大小的矩形框，在常规的目标检测任务中，如图1，一般使用边与轴平行的矩形框．

概念学习：在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，图形的目标矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴、y轴，图形的所有点都在矩形的内部或边上，且矩形的面积最小．设矩形的竖直边与水平边的比为k，我们称常数k为图形的纵横比．举例：如图2，矩形 $\text{[math]}$ 为菱形蓝宝石的目标矩形，纵横比 $\text{[math]}$ ．

【概念理解】

（1）如图 $\text{[math]}$ ，足球经过计算机识别后的图形为圆，其目标矩形的纵横比 $\text{[math]}$ ．

（2）如图 $\text{[math]}$ ，铅笔经过计算机识别后的图形为线段 $\text{[math]}$ ，表达式为 $\text{[math]}$ ，其目标矩形的纵横比 $\text{[math]}$ ．

【联系实际】

如图 $\text{[math]}$ 和图 $\text{[math]}$ ，拱桥经过计算机识别后的图形为抛物线，该抛物线关于y轴对称， $\text{[math]}$ 的高度为5米，其目标矩形的纵横比 $\text{[math]}$ ，求抛物线的表达式（不必写出自变量的取值范围）．

【应用拓展】

（1）为方便救助溺水者，拟在图 $\text{[math]}$ 的桥拱上方栏杆处悬挂救生圈，如图 $\text{[math]}$ ，为了方便悬挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方 $\text{[math]}$ ，且相邻两救生圈悬挂点的水平间距为 $\text{[math]}$ ．为美观，放置后救生圈关于y轴成轴对称分布．求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最左侧一个救生圈悬挂点的坐标（悬挂救生圈的柱子大小忽略不计）．

（2）据调查，拱顶离水面最大距离为 $\text{[math]}$ ，该河段水位在此基础上再涨 $\text{[math]}$ 达到最高．当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计）