对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．

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1. 对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ．我们规定： $\text{[math]}$ ．例如： $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 是一个完全平方式，求常数k的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 在（2）的条件下，将长方形 $\text{[math]}$ 及长方形 $\text{[math]}$ 按照如图方式放置，其中点E、G分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积．

【考点】

完全平方公式及运用; 完全平方公式的几何背景; 完全平方式;

【答案】

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解答题普通

1. 完全平方公式： $\text{[math]}$ ，适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解：因为 $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$ ，即： $\text{[math]}$ ，又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边向两边作正方形，设 $\text{[math]}$ ，两正方形的面积和 $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分面积．

解答题普通

2. 如图1是一个长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．

(1) 你认为图2中的阴影部分的正方形边长是

(2) 请用两种不同的方法求图2阴影部分的面积；分别是；．

(3) 观察图2，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？三个代数式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

(4) 根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(5) 思维迁移

①已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

②已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 阅读理解：

若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解：设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$

(1) 【类比探究】若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 【联系拓展】若 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；（直接写出结论，不用说明理由．）

(3) 【解决问题】如图，在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 为边在长方形 $\text{[math]}$ 外侧作正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ ，若长方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？

解答题普通