如图，在矩形中，，，连结，点E为上一点，且，点P为上一动点，连结，作点B关于的对称点Q，连结、、．

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1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，点P为 $\text{[math]}$ 上一动点，连结 $\text{[math]}$ ，作点B关于 $\text{[math]}$ 的对称点Q，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ __________；

(2) 当点Q落在 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ __________；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求此时 $\text{[math]}$ 的长；

(4) 当 $\text{[math]}$ 与矩形重合部分的图形为轴对称图形时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 勾股定理; 轴对称的性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．

解答题普通

2. 一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含 $\text{[math]}$ 角的直角三角形，另一块是含 $\text{[math]}$ 角的直角三角形．用这两块三角尺可以拼成一个四边形 $\text{[math]}$ （如图），设 $\text{[math]}$ ．

(1) 用含 $\text{[math]}$ 的代数式直接表示： $\text{[math]}$ ．

(2) 求 $\text{[math]}$ 的正切值．

解答题普通

3. 如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $\text{[math]}$ 米，且两扇门的大小相同（即 $\text{[math]}$ ），将左边的门 $\text{[math]}$ 绕门轴 $\text{[math]}$ 向里面旋转 $\text{[math]}$ ，将右边的门 $\text{[math]}$ 绕门轴 $\text{[math]}$ 向外面旋转 $\text{[math]}$ ，其示意图如图2，求此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

解答题普通