（2017四川省眉山市）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知，且是抛物线上另一点．

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1. （2017四川省眉山市）如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是抛物线上另一点．

(1) 求a、b的值；

(2) 连接 $\text{[math]}$ ，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；

(3) 若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作 $\text{[math]}$ 交抛物线的对称轴于H点．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 相似三角形的判定与性质; 二次函数-面积问题; 二次函数-特殊三角形存在性问题;

【答案】

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解答题困难

1. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ， B两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点．

(1) 求该抛物线的函数表达式．

(2) 设点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

(3) 如图2，设点 $\text{[math]}$ 为抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ，交直线BC于点 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

(4) 设点 $\text{[math]}$ 是抛物线在第一象限内的一个动点，在坐标平面内是否存在以B，C，T为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线的顶点．

图1 图2

(1) 求该抛物线的函数表达式；

(2) 如图1，点 $\text{[math]}$ 是第一象限内抛物线上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 的面积最大？并求出最大面积；

②当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 是直角三角形？

(3) 如图2，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一动点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ ，请直接写出实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第四象限内抛物线上的一个动点．

(1) 求二次函数的解析式；

(2) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 在二次函数 $\text{[math]}$ 的图象上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使三角形 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形．若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

解答题普通