如图，在中，，，点，分别在，上，且 .

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1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 如图3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形; 直角三角形斜边上的中线;

【答案】

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综合题普通

1. 已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．

(1) 操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．

(2) 猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

(3) 延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．

综合题困难

2. 在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．

(1) 如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；

(2) 将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；

(3) 将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

3. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD，垂足为E，交AC于点F，连接CE．

(1) 求证：CF=CD；

(2) 求证：DA•DE=DB•DC；

(3) 探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．

综合题普通