如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC= ∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．

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1. 如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC= $\text{[math]}$ ∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．

(1) 若∠ABC=60°，BP=AQ．

①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；

②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

(2) 若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使（1）中①的结论仍然成立（用含α的三角函数表示）．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等腰三角形的性质; 等边三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题普通

1. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

(1) 求证：△MED∽△BCA；

(2) 求证：△AMD≌△CMD；

(3) 设△MDE的面积为S₁ ，四边形BCMD的面积为S₂ ，当S₂= $\text{[math]}$ S₁时，求cos∠ABC的值．

综合题普通

2. 如图

(1) 问题发现

如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：

① $\text{[math]}$ 的值为；

②∠AMB的度数为．

(2) 类比探究

如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断 $\text{[math]}$ 的值及∠AMB的度数，并说明理由；

(3) 拓展延伸

在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB= $\text{[math]}$ ，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

综合题普通

3. 问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E ，使 $\text{[math]}$ ，连接BE ，证明 $\text{[math]}$ ，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：

(1) 小红证明 $\text{[math]}$ 的判定定理是：；

(2) AD的取值范围是；

(3) 方法运用：

如图2，AD是 $\text{[math]}$ 的中线，在AD上取一点F ，连结BF并延长交AC于点E ，使 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

(4) 如图3，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ，在BD上取一点F ，以BF为斜边作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点G是DF的中点，连接EG ， CG ，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通