如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1，）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．

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1. 如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点（2，2），（1， $\text{[math]}$ ）在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作PA⊥x轴于A，PC⊥y轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点．

(1) 求抛物线的解析式及顶点N的坐标；

(2) 求证：四边形PMDA是平行四边形；

(3) 求证：△DPE∽△PAM，并求出当它们的相似比为 $\text{[math]}$ 时的点P的坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 关于该抛物线的对称轴对称，顶点为点 $\text{[math]}$ ．

(1) 写出二次函数的对称轴及点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边只有 $\text{[math]}$ 个公共点时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

综合题困难

2. 如图，抛物线 y=ax2+bx﹣ $\text{[math]}$ 与 x 轴交于 A（1，0）、B（6，0）两点，D 是 y 轴上一点，连接 DA，延长 DA 交抛物线于点 E．

(1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若 E 点在第一象限，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，△ADO 与△AEF 的面积比为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出点 E 的坐标；

(3) 若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M、N 两点，是否存在点 D，使 DA²=DM•DN？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 如图，二次函数y=x²﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．

(1) 画出△OA′B′，试求二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的表达式；

(2) 点P（m，n）在二次函数y=x²﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．

①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；

(3) ②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x²﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x²﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段 NQ的长度等于．

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