如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．

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1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 求证：AB平分 $\text{[math]}$ ；

(3) 抛物线的对称轴上是否存在点M，使得 $\text{[math]}$ 是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 全等三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A(-3m，0)，B(1，0)，与y轴交于点C(0，2m)(m>0)。

(1) 当m=1时，求抛物线的表达式及对称轴。

(2) P为抛物线在第二象限上的一点，BP交对称轴于点D。若tan∠PBA= $\text{[math]}$ ，PD= $\text{[math]}$ DB，求m的值。

综合题普通

2. 如图，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的负半轴的另一交点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$

(1) 求该抛物线的解析式及抛物线顶点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一点，问是否存在以点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形，与 $\text{[math]}$ 相似，若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由

综合题困难

3. 如图 $\text{[math]}$ 所示，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A，B两点，与x轴的另一交点为点C．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 点M为直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点．

①如图2所示，直线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点N，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

②如图3所示，连接 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，是否存在点M，使得 $\text{[math]}$ 中的某个角恰好等于 $\text{[math]}$ 的2倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难