如图，四边形为菱形，．，，．

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1. 如图，四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 点 $\text{[math]}$ 坐标为______；

(2) 如图2，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ 为等边三角形．

①求证： $\text{[math]}$ ，并求 $\text{[math]}$ 的最小值；

②点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，点 $\text{[math]}$ 的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标．若变化，请说明理由．

【考点】

坐标与图形性质; 全等三角形的应用; 等边三角形的判定与性质; 含30°角的直角三角形; 菱形的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC－CB－BA做匀速运动.

(1) 求BD的长.

(2) 已知动点P运动的速度为2cm/s，动点Q运动的速度为2.5cm/s.经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由.

(3) 设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为acm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF为直角三角形，试求a值.

综合题困难

2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，连接BD，点G在BC的延长线上，且CD＝CG．

(1) 求证：△ABC是等边三角形；

(2) 若BF＝3，求CG的长．

综合题普通

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于P，Q两点，给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．

(1) 如图1，已知点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，与点P是“等距点”的有；

(2) 如图2，菱形 $\text{[math]}$ 四个顶点的坐标为 $\text{[math]}$ ，

①当 $\text{[math]}$ 时，点N为菱形的边 $\text{[math]}$ 上一个动点，令点N到x、y轴的距离中的最大值为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是；

②当 $\text{[math]}$ 时，点F为菱形的边 $\text{[math]}$ 上一个动点，若平面中存在一点E，使得E，F两点为“等距点”．在图3中画出点E的轨迹，并计算该轨迹所形成图形的面积；

③我们规定：横纵坐标均为整数的点是整点．若菱形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ，点F为菱形的边 $\text{[math]}$ 上一个动点，平面中存在一点E，使得E，F两点为“等距点”，若菱形内部（不含边界）恰有9个整点，直接写出点E的轨迹所覆盖整点的个数．

综合题困难