如图，已知等边，， E为中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点G．过点E作交射线于点F，连接．

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1. 如图，已知等边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为 $\text{[math]}$ 中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点M，交 $\text{[math]}$ 于点N，分别以M、N为圆心，大于 $\text{[math]}$ 为半径画弧，两弧交于点P，作射线交 $\text{[math]}$ 于点G．过点E作 $\text{[math]}$ 交射线 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

平行线的性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 菱形的判定与性质; 尺规作图-作角的平分线;

【答案】

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证明题普通

1. 已知，直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交于C，D点，点A，B分别在直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且位于直线 $\text{[math]}$ 的左侧，动点P在直线 $\text{[math]}$ 上，且不和点C，D重合．

(1) 如图1，当动点P在线段CD上运动时，求证：∠APB＝∠CAP＋∠DBP；

(2) 如图2，当动点P在点C上方运动时（P，A，B不在同一直线上），请写出∠APB，∠CAP，∠DBP之间的数量关系，并选择其中一种的数量关系说明理由．

证明题困难

2. 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求证：AE= $\text{[math]}$ AB．

证明题普通

3. 如图，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC于点B，∠ABD=30°，求证：AB=2BC．

证明题普通