如图1，抛物线顶点坐标为，直线与抛物线交于A、B点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C．

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1. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于A、B点（点A在点B的左侧），抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点C．

(1) 若点A的横坐标为 $\text{[math]}$ ，求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；

(2) 在（1）条件下，点M为直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线 $\text{[math]}$ 上一点．若 $\text{[math]}$ ，求点M的坐标；

(3) 如图2，将抛物线 $\text{[math]}$ 平移使得顶点落在原点O得到抛物线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于P，Q两点，已知点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交抛物线 $\text{[math]}$ 于点M，N．求证：直线 $\text{[math]}$ 恒过一个定点．

【考点】

一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）; 待定系数法求二次函数解析式; 二次函数与一次函数的图象共存判断; 二次函数-面积问题;

【答案】

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综合题困难

1. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点（单位：分米），点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于y轴对称． $\text{[math]}$ 分米，点 $\text{[math]}$ ．设抛物线表达式为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求a和c的值；

(2) 在某次打开过程中，发现伞面边缘E，F分别在伞骨 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线上，求直径 $\text{[math]}$ 所在圆的面积．

综合题普通

2. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C.

图1 图2

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3) 设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $\text{[math]}$ 的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

综合题困难

3. 在2025年毕业季即将到来之际，学校准备开展“筑梦之旅，砥砺前行”活动，小泽同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间悬挂一条近似抛物线 $\text{[math]}$ 的彩带，如图2所示，已知墙 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 等高，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的水平距离 $\text{[math]}$ 为8米．

(1) 如图2，两墙 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的高度是____________米，抛物线的顶点坐标为____________；

(2) 为了使彩带的造型美观，小泽把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙 $\text{[math]}$ 距离为3米，使抛物线 $\text{[math]}$ 的最低点距墙 $\text{[math]}$ 的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；

(3) 为了尽量避免人的头部接触到彩带，小泽现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线 $\text{[math]}$ 对应的二次函数的二次项系数始终为 $\text{[math]}$ ，若设点M距墙 $\text{[math]}$ 的距离为m米，抛物线 $\text{[math]}$ 的最低点到地面的距离为n米，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出m的取值范围为____________．

综合题普通