许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点（单位：分米），点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点．设抛物线表达式为．

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1. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图1），可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的交点（单位：分米），点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于y轴对称． $\text{[math]}$ 分米，点 $\text{[math]}$ ．设抛物线表达式为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求a和c的值；

(2) 在某次打开过程中，发现伞面边缘E，F分别在伞骨 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的延长线上，求直径 $\text{[math]}$ 所在圆的面积．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-面积问题;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C.

图1 图2

(1) 求该抛物线的解析式；

(2) 若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；

(3) 设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足 $\text{[math]}$ 的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）

综合题困难

2. 在2025年毕业季即将到来之际，学校准备开展“筑梦之旅，砥砺前行”活动，小泽同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间悬挂一条近似抛物线 $\text{[math]}$ 的彩带，如图2所示，已知墙 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 等高，且 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的水平距离 $\text{[math]}$ 为8米．

(1) 如图2，两墙 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的高度是____________米，抛物线的顶点坐标为____________；

(2) 为了使彩带的造型美观，小泽把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙 $\text{[math]}$ 距离为3米，使抛物线 $\text{[math]}$ 的最低点距墙 $\text{[math]}$ 的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；

(3) 为了尽量避免人的头部接触到彩带，小泽现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线 $\text{[math]}$ 对应的二次函数的二次项系数始终为 $\text{[math]}$ ，若设点M距墙 $\text{[math]}$ 的距离为m米，抛物线 $\text{[math]}$ 的最低点到地面的距离为n米，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出m的取值范围为____________．

综合题普通

3. 正在建设的北京环球影城主体乐园是世界第五个环球影城乐园中既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施．过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位．如图所示， $\text{[math]}$ 为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米（轨道厚度忽略不计）．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数关系；

(2) 在轨道距离地面5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了 $\text{[math]}$ 米至K点，又进入下坡段 $\text{[math]}$ （接口处轨道忽略不计）．已知轨道抛物线 $\text{[math]}$ 的形状与抛物线 $\text{[math]}$ 完全相同，在G到Q的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？

(3) 现需要在轨道下坡段 $\text{[math]}$ 进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架 $\text{[math]}$ ，且要求 $\text{[math]}$ ．已知这种材料的价格是8000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？

综合题困难