在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.

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1. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.

(1) 如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.

①若点G为DE的中点，求FG的长.

②若DG＝GF，求BC的长.

(2) 已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于于点O．

(1) 求证：△DAF≌△ABE；

(2) 求∠AOD的度数；

(3) 若AO=4，DF=10，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通

2. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M从点D出发，沿射线DC以每秒1个单位长度向右运动，同时点N以相同的速度从A点出发，沿射线AD运动.连结AM、BN，交于点 E.点F为射线CB上的点，且∠MAF＝45°，直线AF与直线BN相交于点P.设运动时间为t.

(1) 当0≤t≤4时，求证：AM⊥BN；

(2) 当t＝3时，求MF的长；

(3) 当t为何值时，S_△_PBF：S_△_ABF＝1：5.

综合题困难

3. 如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG.

(1) 求证：CD⊥CG；

(2) 若tan∠MEN＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为 $\text{[math]}$ ？请说明理由.

综合题普通