如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线y= x2+bx+c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n)．

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1. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y= $\text{[math]}$ x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n)．

(1) 求n的值和抛物线的解析式；

(2) 点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0<t<4)．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

(3) M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A₁O₁B₁ ，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A₁的横坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数图象上点的坐标特征; 二次函数-动态几何问题; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求该抛物线的函数表达式；

(2) 如图2，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 经过点A，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，且位于 $\text{[math]}$ 轴的上方，点 $\text{[math]}$ 为抛物线上的一个动点，当 $\text{[math]}$ 轴时，作 $\text{[math]}$ ，交抛物线于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的右侧），以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为邻边构造矩形 $\text{[math]}$ ，求该矩形周长的最小值；

(3) 如图3，设抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，在（2）的条件下，当矩形 $\text{[math]}$ 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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2. 如图，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点、与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ 求抛物线的表达式；

$\text{[math]}$ 设抛物线上的一个动点 $\text{[math]}$ 的横坐标 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并说明 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 取到最大值；

$\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在抛物线上.

①当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

②当 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.

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3. 设二次函数y=（ax-1）（x-a），其中a是常数，且a≠0．

(1) 当a=2时，试判断点（- $\text{[math]}$ ，-5）是否在该函数图象上．

(2) 若函数的图象经过点（1，-4），求该函数的表达式．

(3) 当 $\text{[math]}$ -1≤x≤ $\text{[math]}$ +1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围．

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