如图，在▱ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM．求证：

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1. 如图，在▱ABCD中，M为AD的中点，BM＝CM．

求证：

(1) △ABM≌△DCM；

(2) 四边形ABCD是矩形．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 矩形的性质;

【答案】

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综合题普通

(1) 正方形ABCD ， E、F分别在边BC、CD上（不与端点重合），∠EAF＝45°，EF与AC交于点G

①如图（i），若AC平分∠EAF ，直接写出线段EF ， BE ， DF之间等量关系；

②如图（ⅱ），若AC不平分∠EAF ， ①中线段EF ， BE ， DF之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立请说明理由

(2) 如图（ⅲ），矩形ABCD ， AB＝4，AD＝8．点M、N分别在边CD、BC上，AN＝2 $\text{[math]}$ ，∠MAN＝45°，求AM的长度．

综合题困难

2. 已知矩形ABCD中，AF为∠DAC的角平分线，CP⊥AF于点F，且交AD的延长线于P．连接BF交对角线AC于点O．

(1) 若BC=4，tan∠ACB= $\text{[math]}$ ，求S_△_DCP的值；

(2) 求证：∠AOB=3∠PAF．

综合题普通

3. 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F．

求证：

(1) ∠ACB=∠DBC；

综合题普通