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1. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ.

(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2) 若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.
【考点】
全等三角形的判定与性质; 等边三角形的判定与性质; 勾股定理的逆定理;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
真题演练
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1. 如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．

(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．
(2) 若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．
综合题 普通
2. 小聪与同桌小明在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：

(1) 取特殊情况，探索讨论：

当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由．
(2) 特例启发，解答题目：

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图（3），过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你将剩余的解答过程完成）
(3) 拓展结论，设计新题：

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为．（请你画出图形，并直接写出结果）．
综合题 普通
3. 在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．

(1) 求证：△ABP≌△CAQ；
(2) 请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
综合题 普通