等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 P 为平面内一点.

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1. 等腰△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 P 为平面内一点.

(1) 如图 1，当点 P 在边 BC 上时，且满足∠APC＝120°，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图 2，当点 P 在△ABC 的外部，且满足∠APC+∠BPC＝90°，求证：BP＝ $\text{[math]}$ AP；

(3) 如图 3，点 P 满足∠APC＝60°，连接 BP，若 AP＝1，PC＝3，直接写出BP 的长度.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等腰三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图①，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

(2) 把图①中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转一定的角度，得到如图②所示的图形.

①求证： $\text{[math]}$ .

②若延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是什么？并说明理由.

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，把图①中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 长度的取值范围.

综合题普通

2. 如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a。将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD。

(1) 证明：△COD是等边三角形；

(2) 当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由

(3) 探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形?

综合题困难

3. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△ADE，连接BD，CE交于点F．

(1) 求证：△ABD≌△ACE；

(2) 求∠ACE的度数．

综合题普通