在平面直角坐标系中，已知（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

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1. 在平面直角坐标系中，已知 $\text{[math]}$ （b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．

(1) 如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．

(2) 平移1中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为 $\text{[math]}$ 时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．

(3) 在2的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

【考点】

二次函数图象的几何变换;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线L：y＝﹣x²＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），且抛物线过点B（﹣4，﹣3），顶点为C.

(1) 求抛物线L的函数表达式及顶点C的坐标；

(2) 抛物线L′与抛物线L关于原点O对称，抛物线L′与x轴交于点M、N（点M在点N的左侧），在点N右侧的抛物线L′上是否存在一点P，作PD⊥x轴于点D，使得以点P，M，D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 如图，二次函数y＝（x+1）（x+a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x=1.

(1) 求a的值.

(2) 向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式。

综合题普通

3. 如图1，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，与x轴的交点为 $\text{[math]}$ ，B.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) M为 $\text{[math]}$ 轴上方抛物线上的一点， $\text{[math]}$ 与抛物线的对称轴交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是新抛物线在第一象限内互不重合的两点， $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴，垂足分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若始终存在这样的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.

综合题困难