如图，在矩形ABCD中，，，点E是边BC的中点动点P从点A出发，沿着AB运动到点B停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE，过点E作PE的垂线交射线AD与点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t秒．

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1. 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E是边BC的中点 $\text{[math]}$ 动点P从点A出发，沿着AB运动到点B停止，速度为每秒钟1个单位长度，连接PE，过点E作PE的垂线交射线AD与点Q，连接PQ，设点P的运动时间为t秒．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(2) 是否存在这样的t值，使 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形？若存在，求出相应的t值，若不存在，请说明理由；

(3) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 的面积等于10？

【考点】

三角形的面积; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足 $\text{[math]}$ (如图1所示)

(1) 当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；

(2) 在图1中，联结AP，当AD= $\text{[math]}$ ，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x， $\text{[math]}$ =y，其中S_△APQ表示S_△APQ的面积，S_△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；

(3) 当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求∠QPC的大小

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2. 如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ；

(2) 在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；

(3) 已知AB＝ $\text{[math]}$ ，设CP＝x，S_△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式.

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3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长度的速度从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向向终点 $\text{[math]}$ 匀速运动，同时点Q以每秒1个単位长度的速度从点 $\text{[math]}$ 出发，沿 $\text{[math]}$ 方向向终点 $\text{[math]}$ 匀速运动，连结 $\text{[math]}$ . 设运动的时间为 $\text{[math]}$ 秒.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）.

(2) 当 $\text{[math]}$ 秒时，求 $\text{[math]}$ 的面积.

(3) ①如图 2，连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求所有满足条件 $\text{[math]}$ 的值.

② 如图3，当点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点 $\text{[math]}$ 落在直线 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值.

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