如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．

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1. 如图1，△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，∠A=∠D．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 由（1）中的结论可知，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值也就确定，我们把这个比值记作T（A），即T（A）= $\text{[math]}$ 的对边（底边）/ $\text{[math]}$ 的领边（腰）= $\text{[math]}$ ，如T（60°）=1．

①理解巩固：T（90°）=，T（120°）=，若α是等腰三角形的顶角，则T（α）的取值范围是；

②学以致用：如图2，圆锥的母线长为9，底面直径PQ=8，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长（精确到0.1）．

（参考数据：T（160°）≈1.97，T（80°）≈1.29，T（40°）≈0.68）

【考点】

等腰三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ 是等腰三角形， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，点A、点C的对应点分别是点 $\text{[math]}$ 、点 $\text{[math]}$ ．

(1) 感知：如图①，当 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是（不需要证明）；

(2) 探究：如图②，当 $\text{[math]}$ 不落在 $\text{[math]}$ 边上时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相等？如果不相等，请说明理由．

综合题普通

(1) 如图1，在△ABC中，点M为BC边的中点，且MA＝ $\text{[math]}$ BC，求证：∠BAC＝90°.

(2) 如图2，直线a、b相交于点A，点C、E分别是直线b、a上两点，ED⊥b，垂足为点D，点M是EC的中点，MD＝MB，DE＝2，BC＝3，求△ADE和△ABC的面积之比.

综合题普通

3. 数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

(1) 小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

(2) 小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

综合题困难