如图①，在矩形ABCD中，AB= ，AD=3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）．

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1. 如图①，在矩形ABCD中，AB= $\text{[math]}$ ，AD=3，点E是边AD靠近A的三等分点，点P是BC延长线上一点，且EP⊥EB，点G是BE上任意一点，过G作GH∥BP，交EP于点H．将△EGH绕点E逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分别是G、H的对应点）．

(1) 求BP的长；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图②当α=60°时，点M恰好落在GH上，延长BM交NP于点Q，取EP的中点K，连接QK．若点G在线段EB上运动，问QK是否有最小值？若有最小值，请求出点G运动到EB的什么位置时，QK有最小值及最小值是多少，若没有最小值，请说明理由．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D，E分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 绕点C按逆时针方向旋转，记旋转角为α.

(1) 问题发现

①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；

(2) 拓展探究

试判断：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

(3) 问题解决

当 $\text{[math]}$ 旋转至 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

2. 如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN＝∠POQ＝α（α为锐角）．当∠MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，设OM＝x，ON＝y（y＞x≥0），△AOM的面积为s，且cosα，OA是方程2z²﹣21z+10＝0的两根．

(1) 当∠MAN旋转30°时，求点N移动的距离；

(2) 求证：AN²＝ON•MN；

(3) 试求y与x的函数关系及自变量的x的取值范围．

综合题普通

3. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，tan∠ABC＝ $\text{[math]}$ ，点P是边BC上的一点，M是线段AP上一点，线段PM绕点P顺时针旋转90°得线段PN，设BP＝t.

(1) 如图①，当点P在点B，点M是AP中点时，试求AN的长；

(2) 如图②，当 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ 时，

①求点N到BC边的距离(用含t的代数式表示)；

②当点P从点B运动至点C时，试求点N运动路径的长.

综合题困难