已知：点C，D均在直线l的上方，与都是直线l的垂线段，且在的右侧，，与相交于点O.

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1. 已知：点C，D均在直线l的上方， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是直线l的垂线段，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的右侧， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O.

(1) 如图1，若连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的形状为， $\text{[math]}$ 的值为；

(2) 若将 $\text{[math]}$ 沿直线l平移，并以 $\text{[math]}$ 为一边在直线l的上方作等边 $\text{[math]}$ .

①如图2，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重合时，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

②如图3，当 $\text{[math]}$ 时，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线l于点F，连接 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

等边三角形的判定与性质; 勾股定理; 矩形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，现有矩形纸片 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 剪开，得到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ .保持 $\text{[math]}$ 位置不变，将 $\text{[math]}$ 从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ .在 $\text{[math]}$ 旋转过程中，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 如图2，将图1中的 $\text{[math]}$ 旋转到点C落在边 $\text{[math]}$ 上时，边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点F，则 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图3，将图1中的 $\text{[math]}$ 旋转到当点E落在 $\text{[math]}$ 延长线上时，求此时 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图4，继续旋转图3中的 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时停止旋转，求此时 $\text{[math]}$ 的度数及 $\text{[math]}$ 的面积；

(4) 将图4中的 $\text{[math]}$ 继续旋转，则在某一时刻 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 还能相等吗？如果不能，请说明理由，如果能，无需说明理由，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的面积的值.

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2. 已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段BD；连接CP，DP，AD，取AD中点M，连接BM，BC．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，

①如图1，若点P为AB中点，直接写出∠CBM的度数为，线段BC与BM的数量关系为．

②如图2，若点P不为AB中点时，请探究线段BC与BM的数量关系，并说明理由．

(2) 如图3，若PA＝PB＝2，当∠CPB＝105°时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

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3. 如图1所示在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，点E、F分别是边DC、DA的三等分点（DE $\text{[math]}$ EC，DF $\text{[math]}$ AF），四边形DFGE为矩形，连接BG.

(1) 问题发现：在图（1）中， $\text{[math]}$ ＝；

(2) 拓展探究：将图（1）中的矩形DFGE绕点D旋转一周，在旋转过程中 $\text{[math]}$ 的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；

(3) 问题解决：当矩形DFGE旋转至B、G、E三点共线时，请直接写出线段CE的长.

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