如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．

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1. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．

(1) 求点E的坐标；

(2) 求抛物线的函数解析式；

(3) 点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；

(4) 连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 同角三角函数的关系; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，已知直线y=kx与抛物线y= $\text{[math]}$ 交于点A（3，6）．

(1) 求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

(2) 点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

(3) 如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

综合题困难

2. 如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x²相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．

(1) ①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；

(2) 如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x²变为y=ax²（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．

综合题困难

3. 抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线对称轴为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第一象限抛物线上动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 如图1，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(3) 如图2，设 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恰好等于 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标；若不存在，请说明理由.

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