已知两直线l1 ， l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l1⊥l2 ，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l1交于点K，如图所示．

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1. 已知两直线l₁ ， l₂分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l₁⊥l₂ ，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l₁交于点K，如图所示．

(1) 求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

(2) 抛物线的对称轴被直线l₁ ，抛物线，直线l₂和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；

(3) 当直线l₂绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标．

【考点】

等腰三角形的性质; 相似三角形的判定与性质; 锐角三角函数的定义; 二次函数与一次函数的综合应用; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，已知直线y=kx与抛物线y= $\text{[math]}$ 交于点A（3，6）．

(1) 求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

(2) 点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

(3) 如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

综合题困难

2. 如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．

①当PE=2ED时，求P点坐标；

②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

综合题困难

3. 如图1，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求二次函数的解析式；

(2) 如图2，过点C作 $\text{[math]}$ 轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；

(3) 如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q.设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的值，并求 $\text{[math]}$ 的最大值.

综合题困难