如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．

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1. 如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．

(1) 直接写出AE与BC的位置关系；

(2) 求证：△BCG∽△ACE；

(3) 若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．

【考点】

角平分线的性质; 等腰三角形的判定; 含30°角的直角三角形; 勾股定理; 圆周角定理; 切线的性质; 圆的综合题; 相似三角形的判定;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

(1) 若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；

(2) 若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；

(3) 在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

综合题困难

2. 定义：有两条边长的比值为 $\text{[math]}$ 的直角三角形叫做“半生三角形”.如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平行AE交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是半生三角形吗？请判断：（填“是”或“否”）

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 是“半生三角形”；

(3) 当 $\text{[math]}$ 是“半生三角形”，且 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

综合题困难

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 在斜边 $\text{[math]}$ 上求作线段 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；

（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通