定义：有两条边长的比值为的直角三角形叫做“半生三角形”.如图，在中，，是的中点，是的中点，平行AE交于点 .

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1. 定义：有两条边长的比值为 $\text{[math]}$ 的直角三角形叫做“半生三角形”.如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 平行AE交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 是半生三角形吗？请判断：（填“是”或“否”）

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ 是“半生三角形”；

(3) 当 $\text{[math]}$ 是“半生三角形”，且 $\text{[math]}$ 时，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

含30°角的直角三角形; 勾股定理;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 在斜边 $\text{[math]}$ 上求作线段 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ；

（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

2. 如图，半圆 $\text{[math]}$ 的直径 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是半圆 $\text{[math]}$ 上的动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ 的延长线）于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .（当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 或点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ 的值为0）

小石根据学习函数的经验，对函数 $\text{[math]}$ 随自变量 $\text{[math]}$ 的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小石的探究过程，请补充完整：

(1) 通过取点、画图、测量，得到了 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的几组值，如下表：

$\text{[math]}$	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
$\text{[math]}$	0	3.7	a	3.8	3.3	2.5	b

上表中 a=，b=.

(2) 建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(3) 结合画出的函数图象，解决问题：

当 $\text{[math]}$ 与直径 $\text{[math]}$ 所夹的锐角为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长度约为 $\text{[math]}$ .（结果保留一位小数）

综合题普通

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，Q为AB的中点．动点P从点A出发沿折线AC--CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ且边MN与点B始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t秒(>0)．

(1) 线段AB的长为

(2) 当点P在边AC上运动时，线段CP的长为 ▲ (用含t的代数式表示) ．

①当正方形PMNQ与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围．

②当边MN的中点落在△ABC的边上时，求正方形PMNQ的面积．

(3) 当点P不与点C重合时，作点C关于直线PQ的对称点C'当PC'⊥AB时，直接写出t的值．

综合题普通