在中，，点与点在同侧，，且，过点作交于点为的中点，连接 .

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 同侧， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，试探究线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明你的结论；

(3) 如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB= $\text{[math]}$ ，将AC边所在直线向右平移，所得直线MN与BC边的延长线相交于点M，点D在AC边上，CD=CM，过点D的直线平分∠BDC，与BC交于点E，与直线MN交于点N，联接AM．

(1) 若CM= $\text{[math]}$ ，则AM=；

(2) 如图①，若点E是BM的中点，求证：MN=AM；

(3) 如图②，若点N落在BA的延长线上，求AM的长．

综合题普通

2. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE=DC．

(1) 求证：△BDE≌△ADC；

(2) 若BC=8.4，tanC= $\text{[math]}$ ，求DE的长．

综合题普通

3. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

(1) 操作发现

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

② 线段DE与AC的位置关系是；

②设△BDC的面积为S₁ ， △AEC的面积为S₂ ，则S₁与S₂的数量关系是．

(2) 猜想论证

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S₁与S₂的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

(3) 拓展探究

已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S_△_DCF=S_△_BDE ，请直接写出相应的BF的长．

综合题普通