已知，中，，，点为边中点，连接，点为的中点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接， .

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1. 已知， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边中点，连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；

(3) 如图3，当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的三角函数表示）.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 等腰三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题困难

1. 如图①，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD.

(1) 求证：BD=AC；

(2) 将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE.

ⅰ）如图②，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC=3，求AE的长；

ⅱ）如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由。

综合题困难

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点E为边 $\text{[math]}$ 上的一动点（点E不与点A，B重合），连接 $\text{[math]}$ ，过点C作 $\text{[math]}$ ，垂足为F．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从点A出发，沿折线 $\text{[math]}$ 以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段CP的中点，点H在PQ下方， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设点P运动的时间为t（秒）.

(1) 当点P在边AC上运动时，

①线段PQ的长为 ▲ .（用含t的代数式表示）

②若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分为轴对称图形，求t的值.

(2) 当点H落在边AB上时，求HB的长.

(3) 取边QH的中点E ，边BC的中点F ，连接EF ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出t的值.

综合题困难