如图，是的内接三角形，的角平分线交于点，交于点，过点作直线 .

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1. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的内接三角形， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ .

(1) 判断直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；

(2) 若在 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

垂径定理; 圆周角定理; 切线的判定; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 已知，如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的延长线上一点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 求证： $\text{[math]}$ .

综合题普通

2. 中国5A级旅游景区开封市清明上河园中水车园的水车由立式水轮、竹筒、支撑架、水槽等部件组成，如图是水车园中半径为5m的水车灌田的简化示意图，立式水轮 $\text{[math]}$ 在水流的作用下利用竹筒将水运送到点A处，水沿水槽 $\text{[math]}$ 流到田地， $\text{[math]}$ 与水面交于点B，C，且点B，C，P在同一直线上，且 $\text{[math]}$ ，若点P到点C的距离为32m，立式水轮 $\text{[math]}$ 的最低点到水面的距离为2m.连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；

(2) 请求出水槽 $\text{[math]}$ 的长度.

综合题普通

3. 如图所示，⊙O的半径为5，点A是⊙O上一点，直线l过点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD的延长线交直线l于点F，点A是 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求证：直线l是⊙O的切线；

(2) 若PA＝8，求PB的长．

综合题困难