如图1，折叠矩形，具体操作：①点为边上一点（不与、重合），把沿所在的直线折叠，点的对称点为点；②过点对折，折痕所在的直线交于点、点的对称点为点.

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1. 如图1，折叠矩形 $\text{[math]}$ ，具体操作：①点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上一点（不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），把 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠， $\text{[math]}$ 点的对称点为 $\text{[math]}$ 点；②过点 $\text{[math]}$ 对折 $\text{[math]}$ ，折痕 $\text{[math]}$ 所在的直线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 点的对称点为 $\text{[math]}$ 点.

(1) 求证： $\text{[math]}$ ∽ $\text{[math]}$ .

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

①点 $\text{[math]}$ 在移动的过程中，求 $\text{[math]}$ 的最大值.

②如图2，若点 $\text{[math]}$ 恰在直线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

勾股定理; 矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，F是对角线 $\text{[math]}$ 上不与点A，C重合的一点，过F作 $\text{[math]}$ 于E，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到 $\text{[math]}$ ，点G在射线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若点A的对称点G落在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于H，连接 $\text{[math]}$ .

①求证： $\text{[math]}$ ；

②求 $\text{[math]}$ .

(2) 如图2，若点A的对称点G落在 $\text{[math]}$ 延长线上， $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否全等，并说明理由.

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2. 如图1，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠D＝90°，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，把△ADE沿直线AE翻折得△AD′E ．

(1) 当D′点落在AB边上时，∠DAE＝°；

(2) 如图2，当E点与C点重合时，D′C与AB交点F ，

①求证：AF＝FC；

②求AF长．

(3) 连接D′B ，当∠AD′B＝90°时，求DE的长．

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3. 如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，顶点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 边上点 $\text{[math]}$ 处，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求线段 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（与端点不重合），且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①写出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并求出 $\text{[math]}$ 的最小值；

②是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是等腰三角形？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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