在中，，点在底边上，的两边分别交、所在直线于、两点，， .

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在底边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 的两边分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在直线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，求 $\text{[math]}$ 的值（含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

(3) 如图3，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的值为.

【考点】

全等三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．

(1) 如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；

(2) 将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；

(3) 将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC延长线上，连接AD，过B作BE⊥AD，垂足为E，交AC于点F，连接CE．

(1) 求证：CF=CD；

(2) 求证：DA•DE=DB•DC；

(3) 探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．

综合题普通

3. 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.

(1) 如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，

易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；

(2) 将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α(0^∘＜α＜45^∘). 如图2，在旋转过程中，当∠MDC＝15^∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出线段MN的长；

(3) 图3，旋转后，若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN的数量关系是；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是.

综合题困难