在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F ， DF与AE交于点M ， DE与BC交于点N ．

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1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，CD是中线， $\text{[math]}$ ，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F ， DF与AE交于点M ， DE与BC交于点N ．

(1) 如图1，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 绕点D旋转的过程中，试证明 $\text{[math]}$ 恒成立；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求DN的长．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．

(1) 如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；

在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE²=BD²+CE²；

若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE²=BD²+CE²还能成立吗？请说明理由．

综合题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的顶点A在 $\text{[math]}$ 的斜边DE上，AB、CD交于点F，连接BD．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 求证： $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，AF： $\text{[math]}$ ：3，求线段AB的长．

综合题普通

3. 如图，△AOB，△COD是等腰直角三角形，点D在AB上，

(1) 求证：△AOC≌△BOD；

(2) 若AD=3，BD=1，求CD．

综合题普通