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1. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

(1) 如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
(2) 如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ= 时，P、Q两点间的距离 （用含a的代数式表示）．
【考点】
全等三角形的判定与性质; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 等腰直角三角形;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
真题演练
换一批
1. 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

(1) 求证：BD=CE；
(2) 若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
综合题 困难
2. △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

(1) 如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
(2) 如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．
综合题 困难
3. 在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．


(1) 如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；
(2) 将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；
(3) 将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求 的值．
综合题 普通