如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

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1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

(1) 求证：AB⊥AE；

(2) 若BC²=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 正方形的判定; 相似三角形的判定与性质; 旋转的性质; 等腰直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

(1) 求证：AB⊥AE；

(2) 若BC²=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．

综合题普通

2. 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．

(1) 求证：BD=CE；

(2) 若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；

综合题困难

3. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

(1) 如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

(2) 如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ= $\text{[math]}$ 时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．

综合题普通